ĐỀ THAM KHẢO VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Môn : TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

với

b) Giải phương trình :

c) Giải phương trình
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực

thỏa mãn

. Chứng minh phương trình sau luôn

có nghiệm
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên

thỏa mãn phương trình

Câu 3. (1,0 điểm) Với các số thực dương

thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 4.(3,0 điểm)
Cho tam giác
cao

nhọn

cắt nhau tại H. Gọi

a) Chứng minh rằng

nội tiếp đường tròn tâm O và có ba đường
lần lượt là trung điểm của

vuông góc với

b) Gọi K, Qlần lượt là giao điểm của

và
với

và BC

song song với OA
và

Chứng minh rằng

c) Đường thẳng chứa tia phân giác của
phân giác của

cắt

lần lượt tại

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

A. Chứng minh ba điểm

tại điểm P khác

thẳng hàng

Câu 5. (1,0 điểm) Cho tam giác

cố định có diện tích S. Đường thẳng

đổi đi qua trọng tâm của tam giác

cắt các cạnh

lần lượt là diện tích các tam giác

và

a) Rút gọn biểu thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của

với

b) Giải phương trình :
Điều kiện:

. Phương trình tương đương

Vậy
c) Giải phương trình
Cộng hai phương trình đã cho vế theo vế được

Trường hợp 1:

thay

lần lượt tại M, N. Gọi

ĐÁP ÁN

Câu 1. (3,0 điểm)

. Tia

thay vào phương trình 2 của hệ ta được :

Trường hợp 2:

thay vào pt 2 của hệ ta được :

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm

Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực

thỏa mãn

. Chứng minh phương trình sau

luôn có nghiệm
Phương trình đã cho
Giả sử phương trình này vô nghiệm, khi
đó cả hai phương trình (1), (2) đều vô nghiệm. Tức là :

Lúc này theo giả thiết thì
Tuy nhiên điều này vô lý do
Vậy điều giả sử sai . Ta có điều phải chứng minh
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên
Đặt

thỏa mãn phương trình

thì từ giả thiết ta được :

Do
Với

(thử lại đúng)

Với

(vô lý)

Vậy
Câu 3. (1,0 điểm) Với các số thực dương

thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ta có :

Do đó :

Vậy
Câu 4.(3,0 điểm)
Cho tam giác
nhọn
nội tiếp đường tròn tâm O và có ba
đường cao
cắt nhau tại H. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
BC

A

I

E

Q
F
M
K
a) Chứng minh rằng

B

O

H

L

R

G
D

N

P

C
J
T

vuông góc với

và

song song với OA

là đường trung trực của EF

Kẻ đường kính

của (O)

là hình bình hành

b) Gọi K, Qlần lượt là giao điểm của

với

và

là trung điểm của HT
Chứng minh rằng

Các tứ giác

là các tứ giác nội tiếp nên ta có :
và do
là phân giác trong và phân giác ngoài của

Theo tính chất đường phân giác thì
c) Đường thẳng chứa tia phân giác của
cắt
lần lượt tại
Tia phân giác của
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại
điểm P khác A. Chứng minh ba điểm
thẳng hàng
Ta có
cân tại A

.

là đường kính của
Gọi G là giao điểm của
và L là giao điểm của
Khi đó tứ giác
là hình bình hành nên
đi qua trung điểm R của
Áp dụng định lý Talet và tính chất đường phân giác ta được :

Mặt khác
Giả sử
cắt BC tại J'
Áp dụng định lý Talet ta có :
Vậy ba điểm
thẳng hàng
Câu 5. (1,0 điểm) Cho tam giác
cố định có diện tích S. Đường thẳng
thay đổi đi qua trọng tâm của tam giác
cắt các cạnh
lần lượt tại M,
N. Gọi
lần lượt là diện tích các tam giác
và
Tìm giá trị nhỏ
nhất của

A
d
N

G
M

C
D

B

Gọi D là trung điểm

và

là trọng tâm

Ta có :

. Mà

Đẳng thức xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là

đạt được khi và chỉ khi